初二数学题目及答案解析(八年级数学难题精选)

初二数学题目及答案解析（八年级数学难题精选）

数学是一门需要思考和动手的学科，而在初二阶段，数学难度更加突出。下面我们选取了八年级数学难题精选，为大家带来解析。

题目一

已知一数列的前$n$项和为$S_n=\dfrac{2n^2-n}{n 1}$，求数列的通项公式。

解析：首先我们先列出前几项。

当$n=1$时，$a_1=\dfrac{2\times1^2-1}{1 1}=\dfrac{1}{2}$；

当$n=2$时，$a_2=\dfrac{2\times2^2-2}{2 1}=2$；

当$n=3$时，$a_3=\dfrac{2\times3^2-3}{3 1}=\dfrac{15}{4}$。

观察前几项，我们可以猜测数列的通项公式为$a_n=n$。下面我们用归纳法来证明。

当$n=1$时，$a_1=1$，最后的总结成立。

假设当$n=k$时，$a_k=k$，即数列的前$k$项为$1, 2, 3, \cdots, k$。

当$n=k 1$时，根据题意，$a_{k 1}-a_k=\dfrac{2(k 1)^2-(k 1)}{(k 1) 1}-\dfrac{2k^2-k}{k 1}=2k 1$。

因此，$a_{k 1}=a_k (2k 1)=1 2 3 \cdots k (2k 1)=(k 1)^2$。

数列的通项公式为$a_n=n$。

题目二

若$\dfrac{a b}{a-b}=\dfrac{y}{x}$，求$\dfrac{a^2 b^2}{a^2-b^2}$的值。

解析：将分式$\dfrac{a b}{a-b}$进行通分，得到$\dfrac{a b}{a-b}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{ax bx}{ax-bx}=\dfrac{(a b)x}{(a-b)x}$。

移项化简可得$\dfrac{a}{b}=\dfrac{y x}{y-x}$。

因此，$\dfrac{a^2 b^2}{a^2-b^2}=\dfrac{(a b)^2}{(a b)(a-b)}\div\dfrac{(a-b)^2}{(a b)(a-b)}=\dfrac{(a b)^2}{(a-b)^2}=\dfrac{(\dfrac{y x}{y-x}b)^2 b^2}{(\dfrac{y x}{y-x}b)^2-b^2}=\dfrac{(y^2 x^2 2xy)b^2}{(y^2 x^2-2xy)b^2}=1 \dfrac{4xy}{(x^2-y^2)^2}$。

$\dfrac{a^2 b^2}{a^2-b^2}=1 \dfrac{4xy}{(x^2-y^2)^2}$，其中$\dfrac{a b}{a-b}=\dfrac{y}{x}$。

题目三

已知$\log_{2x}128 \log_{x^2}32=4$，求$x$。

解析：根据对数的换底公式，将式子进行转化，得到$\dfrac{\log_{2}128}{\log_{2}2x} \dfrac{\log_{2}32}{\log_{2}x^2}=4$。

运用化简公式$\log_{a^n}b^n=\log_{a}b$，化简以上式子得到$\dfrac{7}{\log_{2}x 1} \dfrac{5}{2\log_{2}x}=4$。

移项化简可得$8\log_{2}x^2-3\log_{2}x-7=0$，因此$\log_{2}x=\dfrac{7}{8}$或$\log_{2}x=-\dfrac{7}{8}$。

由于$\log_{2}x$大于0，所以$\log_{2}x=\dfrac{7}{8}$，即$x=2^{\frac{7}{8}}$。

$x=2^{\frac{7}{8}}$。

题目四

已知$a_1=1$，$a_2=\dfrac{1}{2}$，$a_3=\dfrac{1}{3}$，$\cdots$，$a_n=\dfrac{1}{n}$，求$\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i-1)^2$。

解析：将$(a_i-1)^2$展开，得到$a_i^2-2a_i 1$，所以$\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i-1)^2=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i^2-2a_i 1)$。

根据求和的分配律，可以得到$\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i^2-2a_i 1)=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2-2\sum\limits_{i=1}^{n}a_i \sum\limits_{i=1}^{n}1$。

求和式$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2$可以通过换元法转化成$\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i^2}$。

$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i=\dfrac{1}{1} \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{3} \cdots \dfrac{1}{n}$，可以通过数学归纳法证明$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i<\ln(n) 1$，所以$2\sum\limits_{i=1}^{n}a_i<2\ln(n) 2$。

$\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i-1)^2=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2-2\sum\limits_{i=1}^{n}a_i \sum\limits_{i=1}^{n}1<\dfrac{\pi^2}{6}-2\ln(n)-\dfrac{1}{3} \ln(2)$。

因此，$\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i-1)^2$与$n$无关，可以表示为一个常数。换言之，$\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i-1)^2$的值等于$\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac{7}{2}$。

最后的总结

初二数学难度较大，需要同学们充分打好基础，多练习，理解每个概念和公式的含义，不断提高自己的思维和运算能力。通过以上难题的解析，相信同学们对初二数学难题有了更深刻的理解。