已知两组基求过渡矩阵(求T在基下的矩阵A)

介绍

在线性代数中，矩阵是非常重要的概念。而在矩阵的变换中，过渡矩阵也是一个重要的部分，它描述了一个向量在不同基下的坐标之间的变换关系。本文将探讨如何根据已知的两组基求过渡矩阵。

定义

在向量空间中，一个基是向量空间中的一组线性无关的向量。而过渡矩阵是描述一个向量在两组基下的坐标之间的变换的矩阵。

假设已知一组基B和一组基B'，其中向量v在基B下的坐标为[x]B，在基B'下的坐标为[x]B'，则过渡矩阵T的定义为：

T = [x]B' * ([B']_B)

其中，[B']_B为从基B'到基B的变换矩阵，[x]B'为向量v在基B'下的坐标向量。

求解过渡矩阵

假设已知两组基B和B'，其中B的基向量为b₁、b₂，B'的基向量为b'₁、b'₂。

我们需要求出基B'下的基向量在基B下的坐标。假设b'₁=[x₁₁]B+b₂=[x₂₁]B，则：

[b'₁]B = [x₁₁ x₂₁]

同样的，假设b'₂=[x₁₂]B+b₂=[x₂₂]B，则：

[b'₂]B = [x₁₂ x₂₂]

接下来，我们需要求解从基B'到基B的变换矩阵。

假设在基B'下向量v的坐标为[x₁ x₂]，那么在基B下的坐标为：

[v]B = T[x₁ x₂]^T

假设b'₁在基B下的坐标为[u₁ u₂]，则：

T[x₁ x₂]^T = [u₁ u₂]

同样的，假设b'₂在基B下的坐标为[v₁ v₂]，则：

T[x₁ x₂]^T = [u₁ u₂;v₁ v₂]

通过求解上述方程组，可以得到过渡矩阵T。

应用举例

假设有向量v在基B下的坐标为[2 3]，而且已知B'的基向量为b'₁=[1 1]、b'₂=[-1 1]。

我们需要求出b'₁、b'₂在基B下的坐标。根据上述求解过程，可以得到：

[b'₁]B = [1 1], [b'₂]B = [-1 1]

接着，我们需要求解变换矩阵T，同样可以根据上述求解过程得到：

T = [1 -1/2;1 1/2]

最终，向量v在基B'下的坐标为：

[v]B' = T[x₁ x₂]^T = [1/2 7/2]

通过上述过程，我们成功求解了过渡矩阵并应用于实际问题中。

最后的总结

过渡矩阵是描述一个向量在不同基下的坐标之间的变换关系的矩阵。通过已知两组基，我们可以求解出对应的过渡矩阵。这种求解方法在实际问题中具有一定的应用价值。